Родился в 1862 г. в селе Коприно Рыбинского уезда (ныне не существует, территория Рыбинского района) в семье бывшего лоцмана. Мальчиком пошёл учиться в школу при местной сыроварне, которой владел Владимир Бландов. В конце 1870-х гг. в числе самых талантливых учеников был отправлен на учёбу в Москву, после окончания которой прошёл трёхгодичную стажировку в парижском институте Пастера.

По возвращении в Москву А. В. Чичкин открыл собственный молочный магазин, который благодаря качеству продукции быстро завоевал популярность. В 1910 г. предприниматель открывает молочный завод, где в сутки производилось до 150 тонн молока. К 1914 г. по всей стране работало более 90 магазинов А. В. Чичкина. Только в московские магазины продукцию поставляли более 600 основных поставщиков. К 1917 г. основной капитал его фирмы оценивался в 10 млн. рублей, а ежедневный доход составлял 150 тыс. рублей.

Уроженец Ярославской губернии стал первым в России, кто занялся переработкой молока в промышленных масштабах. До Чичкина молоко, сметану и творог жители крупных городов могли купить либо на рынках, либо у домашних молочниц. Новатором А. В. Чичкин стал и в подготовке кадров для своей фирмы. Им была разработана система моральных и материальных стимулов для будущих сотрудников, которых начинали готовить с 13 лет.

В годы советской власти предприятия А. В. Чичкина были национализированы. В период НЭПа он занялся оптовой торговлей молоком, сыром и маслом. Позднее бывший предприниматель был выслан в Казахстан. Однако в годы первых пятилеток он вернулся в Москву, где работал консультантом первого наркома пищевой промышленности СССР А. И. Микояна. Авторитет А. В. Чичкина по-прежнему был очень высок, также высоко ценились и его кадры, которых брали нарасхват и на молочные заводы, и в торговлю.

А. И. Чичкин умер в 1949 г., был похоронен на Новодевичьем кладбище.   

Александр Чичкин // Короли бизнеса - столпы империи : десять веков ярославского купечества. Ярославль, 2013.  С. 177.

Дутов Н. В. Предприниматель-новатор из ярославской "глубинки" // Ярославский педагогический вестник. Серия Гуманитарные науки. 2011. № 2 (апрель-июнь). С. 298-304.

Кишкин А. С. Самородок русской деловитости. Рыбинск, 1998. 40 с.

Трацевский Б. Н., библиограф отдела краеведения ЯОУНБ им. Н. А. Некрасова